【題目】設(shè)
兩點在拋物線
上，
是AB的垂直平分線，
（1）當(dāng)且僅當(dāng)
取何值時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論；
（2）若
，弦AB是否過定點，若過定點，求出該定點，若不過定點，說明理由.
【答案】（1）
，證明見解析 （2）過定點，（0,
）
【解析】
(1)對直線
的斜率是否存在進行討論，利用中垂線的性質(zhì)列方程組求出直線的截距b的范圍，從而得出結(jié)論；
(2)設(shè)AB的方程為：y=kx+b，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和
求出b的值，從而得到定點的坐標(biāo).
解：（1）∵拋物線
，即
，
∴焦點為
(i)直線的斜率不存在時，顯然有
(ii)直線的斜率存在時，設(shè)為k，截距為b
即直線：y=kx+b，由已知得：
即的斜率存在時，不可能經(jīng)過焦點
所以當(dāng)且僅當(dāng)
=0時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F
（2）設(shè)直線：y=kx+b，
聯(lián)立方程組：
若
，則
過定點（0,）. ，
因此直線AB過定點
.
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【題目】已知拋物線
的焦點為
，
，
是拋物線上關(guān)于
軸對稱的兩點，點
是拋物線準(zhǔn)線
與軸的交點，
是面積為4的直角三角形.
(1)求拋物線的方程；
(2)若
為拋物線上異于原點的任意一點，過作
的垂線交準(zhǔn)線于點
，則直線
與拋物線是何種位置關(guān)系？請說明理由.
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【題目】（1）閱讀以下案例，利用此案例的想法化簡
．
案例：考察恒等式
左右兩邊
的系數(shù)．
因為右邊
，
所以，右邊的系數(shù)為
，
而左邊的系數(shù)為
，
所以＝．
（2）求證：
．
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【題目】為迎接2022年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動．現(xiàn)從參加冬奧知識競賽活動的學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：
，
，
，
，
，
，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求
的值；
（2）估計這100名學(xué)生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
（3）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”．請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合計 | 100 |
參考公式及數(shù)據(jù)：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】已知
是橢圓
的兩個焦點，
是橢圓
上一點，當(dāng)
時，有
.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過橢圓右焦點
的動直線
與橢圓交于
兩點，試問在
鈾上是否存在與不重合的定點
，使得
恒成立？若存在，求出定點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.
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【題目】設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為
.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.
（Ⅰ）用
表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）設(shè)
為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.
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【題目】“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3553等．顯然2位“回文數(shù)”共9個：11，22，33，…，99．現(xiàn)從9個不同2位“回文數(shù)”中任取1個乘以4，其結(jié)果記為X；從9個不同2位“回文數(shù)”中任取2個相加，其結(jié)果記為Y．
（1）求X為“回文數(shù)”的概率；
（2）設(shè)隨機變量
表示X，Y兩數(shù)中“回文數(shù)”的個數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望
．
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【題目】某個地區(qū)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水的年入流量
（年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：十億立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超過12的年份有35年，超過12的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立.
（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過12的概率；
（2）若水的年入流量與其蘊含的能量
（單位：百億萬焦）之間的部分對應(yīng)數(shù)據(jù)為如下表所示：
年入流量 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
蘊含的能量 | 1.5 | 2.5 | 3.5 | 5 | 7.5 |
用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程
；（回歸方程系數(shù)用分數(shù)表示）
（3）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系：
年入流量 |
|
|
|
發(fā)電機最多可運行臺數(shù) | 1 | 2 | 3 |
若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？
附：回歸方程系數(shù)公式：
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知正方體的外接球O的半徑為
，則過該正方體的三個頂點的平面截球O所得的截面的面積為（ ）
A.2π或
B.3π或
C.2π或3πD.2π或3π或
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