Question

【題目】某個(gè)地區(qū)計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水的年入流量（年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和，單位：十億立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超過(guò)12的年份有35年，超過(guò)12的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.

（1）求未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)12的概率；

（2）若水的年入流量與其蘊(yùn)含的能量（單位：百億萬(wàn)焦）之間的部分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為如下表所示：

年入流量	6	8	10	12	14
蘊(yùn)含的能量	1.5	2.5	3.5	5	7.5

用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（回歸方程系數(shù)用分?jǐn)?shù)表示）

（3）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系：

年入流量
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)	1	2	3

若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？

附：回歸方程系數(shù)公式：，.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).

【解析】

（1）計(jì)算得到，，，再計(jì)算概率得到答案.

（2）利用回歸方程公式直接計(jì)算得到答案.

（3）計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.

（1）依題意，，，

.

由二項(xiàng)分布得，在未來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過(guò)12的概率為.

（2），，，，，，

所以關(guān)于的線性回歸方程為.

（3）記水電站年總利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元）.

①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

由于水庫(kù)年入流量總大于4，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)，

.

②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

因此；

當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

因此.由此得的分布列如下：

	4200	10000
	0.2	0.8

所以，.

③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.

依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

因此；

當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

因此；

當(dāng)時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

因此.由此得的分布列如下：

	3400	9200	15000
	0.2	0.7	0.1

所以，.

綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).