Question

【題目】已知二次函數(shù)滿足，且.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值；

（3）當時，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值為3，最大值為7；（3）．

【解析】

（1）待定系數(shù)法求解析式，可設函數(shù)的解析式為，又由，即，分析可得、的值，將、的值代入函數(shù)的解析式，即可得答案；

（2）根據(jù)題意，分析可得，結(jié)合的范圍分析可得答案；

（3）根據(jù)題意，由的解析式可得，由基本不等式的性質(zhì)分析可得，據(jù)此分析可得答案．

解：（1）根據(jù)題意，二次函數(shù)滿足，設其解析式為，

又由，

∴，

∴，解得，，

則；

（2）由（1）的結(jié)論，，

又，

當時，取得最小值，且其最小值，

當時，取得最大值，且其最大值；

故在上的最小值為3，最大值為7；

（3）由（1）的結(jié)論，，則，

又由，則，當且僅當x=2等號成立

若恒成立，必有，解可得，

即的取值范圍為．