Question

已知點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），P（x₀，y₀）是直線y=x+2上任意一點(diǎn)，以A、B為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn)P．記橢圓離心率e關(guān)于x₀的函數(shù)為e（x₀），那么下列結(jié)論正確的是（　　）

A．e與x0一一對(duì)應(yīng)

B．函數(shù)e（x0）無(wú)最小值，有最大值

C．函數(shù)e（x0）是增函數(shù)

D．函數(shù)e（x0）有最小值，無(wú)最大值

Answer 1

由題意可得c=1，橢圓離心率e=

c

a

=

1

a

．故當(dāng)a取最大值時(shí)e取最小，a取最小值時(shí)e取最大．
由橢圓的定義可得PA+PB=2a，a=

PA+PB

2

．
由于PA+PB 有最小值而沒(méi)有最大值，即a有最小值而沒(méi)有最大值，
故橢圓離心率e 有最大值而沒(méi)有最小值，故B正確，且 D不正確．
當(dāng)直線y=x+2和橢圓相交時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之和相等，
都等于2a，故這兩個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的離心率e相同，故A不正確．
由于當(dāng)x₀的取值趨于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，PA+PB=2a趨于正無(wú)窮大；
而當(dāng)當(dāng)x₀的取值趨于正無(wú)窮大時(shí)，PA+PB=2a也趨于正無(wú)窮大，故函數(shù)e（x₀）不是增函數(shù)，故C不正確．
故選B．