【題目】已知函數(shù),其中
,
為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調性;
(Ⅱ)當時,若函數(shù)
的圖象恒在直線
的上方,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見詳解;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由求導可得:
,因為
由
可得
,再根據(jù)兩者的大小關系進行分類討論可得函數(shù)
的單調區(qū)間;
(Ⅱ)由已知可得在
上恒成立,再分類討論
時,
時和
時函數(shù)
的最小值,由
即可求解.
(Ⅰ)由求導可得:
.
由可得
,且
,
①當時,即
,
當或
時
,
在此區(qū)間單調遞增;
當時
,
在此區(qū)間單調遞減;
②當時,即
,
當或
時
,
在此區(qū)間單調遞增;
當時
,
在此區(qū)間單調遞減;
③當時,即
,
,
在R上單調遞增;
(Ⅱ)由已知可得在
上恒成立.
①當時,由(Ⅰ)可知
在
上單調遞增,
,
,解得:
,
;
②當時,即
由(Ⅰ)可知在
上單調遞增,在
上單調遞減,
,
解得,
;
③當時,即
,
由(Ⅰ)可知在
上單調遞減,
,
,解得
,
此種情況a無解.
綜上,a的取值范圍是
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,,
是經(jīng)過小城
的東西方向與南北方向的兩條公路,小城
位于小城
的東北方向,直線距離
.現(xiàn)規(guī)劃經(jīng)過小城
修建公路
(
,
分別在
與
上),與
,
圍成三角形區(qū)域
.
(1)設,
,求三角形區(qū)域
周長的函數(shù)解析式
;
(2)現(xiàn)計劃開發(fā)周長最短的三角形區(qū)域,求該開發(fā)區(qū)域的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在區(qū)間
上有最小值1,最大值9.
(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)設,若不等式
在區(qū)間
上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)設),若函數(shù)
有三個零點,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某高校共有學生15 000人,其中男生10 500人,女生4500人.為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時).
(1)應收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)?
(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù),得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率.
(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時,請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù).
(1)若是
的兩個不同的根,是否存在實數(shù)
,使
成立?若存在,求
的值;若不存在,請說明理由.
(2)設,函數(shù)
已知方程
恰有3個不同的根.
(ⅰ)求的取值范圍;
(ⅱ)設分別是這3個根中的最小值與最大值,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù).
(1)求k的值;
(2)設g(x)=log4,若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長為4的正方形與矩形
所在平面互相垂直,
分別為
的中點,
.
(1)求證:平面
;
(2)求證:平面
;
(3)在線段上是否存在一點
,使得
?若存在,求出
的長;若不存在,請說明理由.
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