Question

【題目】如圖，,是經(jīng)過小城的東西方向與南北方向的兩條公路，小城位于小城的東北方向，直線距離.現(xiàn)規(guī)劃經(jīng)過小城修建公路(,分別在與上)，與,圍成三角形區(qū)域.

(1)設(shè)，,求三角形區(qū)域周長的函數(shù)解析式;

(2)現(xiàn)計劃開發(fā)周長最短的三角形區(qū)域，求該開發(fā)區(qū)域的面積.

Answer 1

【答案】（1）

（2）開發(fā)區(qū)域的面積為

【解析】分析：(1)先根據(jù)直角三角形求OA,OB,AB，再相加得三角形區(qū)域周長的函數(shù)解析式; (2) 令，化簡，再根據(jù)三角函數(shù)有界性確定t范圍，解得最小值，同時求出開發(fā)區(qū)域的面積.

詳解：解：（方法一）

（1）如圖，過分別作、的垂線，垂足分別為、，因為小城位于小城的東北方向，且，所以，在和中，易得，

，

所以

當(dāng)時，，單調(diào)遞減

當(dāng)時，，單調(diào)遞增

所以時，取得最小值.

此時，，

的面積

答：開發(fā)區(qū)域的面積為

（方法二）

（1）在中，，即

所以

在中，

所以

（2）令，則

因為，所以，所以

由 ，得

記

因為在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時最小

此時，即

，

所以的面積

答：開發(fā)區(qū)域的面積為