Question

已知．
（1）當時，求的最大值；
（2）求證：恒成立；
（3）求證：．（參考數據：）

Answer 1

（1）的最大值為0；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）設，求導利用單調性即可得其最大值；.
（2）由（1）得，，變形即得左邊的不等式：.右邊不等式顯然不宜直接作差，故考慮作適當的變形.為了證右邊，設.求導得.的符號還不能直接確定.為了確定的符號，再設，求導得，所以即由此可知即，從而原命題得證；（3）首先看看所證不等式與第（2）題有何聯(lián)系.對照待證不等式，可將（2）題中的不等式變形為：.顯然取，得.右邊易證如下：；左邊則應考慮做縮小變形.由于左邊為，故將縮為一個等差數列.因為，所以考慮把縮小為.
當時，，這樣累加，再用等差數列的求和公式即可使問題得證.
試題解析：（1）設，則
，
所以在區(qū)間內單調遞減，故的最大值為；  （4分）
（2）由（1）得，對，都有，即，
因為，所以.                          （6分）
設，則
.
設，則，
所以在區(qū)間內單調遞增，故即.
所以在區(qū)間內單調遞增，故即，
因為，所以.
從而原命題得證.                           （9分）
（3）由（2）得，，
令，得.
所以；  （11分）
另一方面，當時，，
所以
從而命題得證.                             （14分）