Question

【題目】有一個“亂點鴛鴦譜”節(jié)目：每次邀請四對青年夫妻，先由每人隨機抽簽獲得順序展示才藝，再由觀眾通過投票的方式實施男女配對（觀眾不知道他們的真實配對情況）.

（Ⅰ）求正確配對家庭數(shù)的期望；

（Ⅱ）設(shè)有對夫妻，記他們完全錯位的配對種類總數(shù)為.

①求， ， ；

②推導(dǎo)， ， 所滿足的關(guān)系式.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析: (1)設(shè)正確配對的家庭數(shù)為 ,則的可能取值為0,1,2,4,再分別求出 時的概率,寫出的分布列,求出期望; (2)先求出 ,利用元素一一對應(yīng)的關(guān)系以及排列相關(guān)知識求出 的關(guān)系.

試題解析:（Ⅰ）設(shè)正確配對的家庭數(shù)為，則的所有可能取值為.

， ， ，

.

∴的分布列為

.

（Ⅱ）①由題意可知， ， ， .

②對于個的元素，

及其對應(yīng)元素，

由于不能對應(yīng)，則與除去以外的個元素之一對應(yīng)，不妨設(shè)與對應(yīng)，則的對應(yīng)分兩類：

其（一）： 與對應(yīng)，即

其余個元素的錯位排列總數(shù)為；

其（二）： 不與對應(yīng)，即

其余個元素的錯位排列總數(shù)為，

于是， .