Question

已知圓，直線．
（1）判斷直線與圓C的位置關(guān)系；
（2）設(shè)與圓C交與不同兩點(diǎn)A、B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）若定點(diǎn)P（1，1）分弦AB為，求此時直線的方程．

Answer 1

（1）由題意可知，圓心C到直線的距離，所以直線與圓相交；（2）；（3）或．

解析試題分析：（1）相交；（2）當(dāng)M與P不重合時，設(shè)，則，，從而得到的軌跡方程，當(dāng)M與P重合時，也滿足上式，故弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是；（3）若定點(diǎn)P（1，1）分弦AB為，則設(shè)，得到一個關(guān)于的方程，聯(lián)立直線和圓的方程，得到關(guān)于的一個一元二次方程，根據(jù)兩根之后得到另一個關(guān)于的方程，兩個方程聯(lián)立解得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f8/c/5yy6n.png" style="vertical-align:middle;" />是一元二次方程的一個根，代入即可求出的值，從而求出直線的方程．
試題解析：
（1）圓的圓心為，半徑為。
∴圓心C到直線的距離
∴直線與圓C相交；
（2）當(dāng)M與P不重合時，連結(jié)CM、CP，則，
∴
設(shè)，則，
化簡得：
當(dāng)M與P重合時，也滿足上式。
故弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是．
（3）設(shè)，由得，
∴，化簡的………①
又由消去得……（*）
∴   …………②
由①②解得，帶入（*）式解得，
∴直線的方程為或．
考點(diǎn)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的判斷，動點(diǎn)的軌跡方程的求法，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，體現(xiàn)了方程的思想方法．