Question

【題目】已知正方形的邊長(zhǎng)為2，分別以， 為一邊在空間中作正三角形， ，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接， .

(1)證明： 平面；

(2)求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1.

【解析】試題分析：（1）證線(xiàn)面垂直，先證線(xiàn)線(xiàn)垂直，做出輔助線(xiàn)，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系，首先證得，再證得， ，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理得到線(xiàn)面垂直；（2）根據(jù)條件可得到平面，進(jìn)而點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，取的中點(diǎn)為，連接， 平面， 為點(diǎn)到平面的距離.

解析：

(1)連接交于點(diǎn)，并連接，則，又∵，

∴，又∵，∴，∴，

∵，∴平面，∵平面，∴，

∵， ，∴，∴，

即，∵，∴平面.

(2)由題知， ，且，可得四邊形為平行四邊形，∴，

又∵平面，∴平面，∵點(diǎn)，∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，取的中點(diǎn)為，連接，則由(1)可得.

在中， ，則，∴，∴平面，即為點(diǎn)到平面的距離.

在中， ，得點(diǎn)到平面的距離為1.