【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，曲線
過點
，其參數(shù)方程為
（
為參數(shù)，
），以
為極點，
軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線
的極坐標(biāo)方程為
．
（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）求已知曲線和曲線交于
兩點，且
，求實數(shù)
的值．
【答案】（1）
,
；（2）
或
.
【解析】試題分析：(1)先根據(jù)加減消元法得曲線
的普通方程，再根據(jù)
將曲線
的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，由
得
，再利用韋達(dá)定理列方程解得實數(shù)
的值．
試題解析：
解：（1）的參數(shù)方程
，消參得普通方程為
，
的極坐標(biāo)方程為
兩邊同乘
得
即；
（2）將曲線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)化為
（
為參數(shù)，
）代入曲線
得
，由
，得
，
設(shè)
對應(yīng)的參數(shù)為
，由題意得即
或
，
當(dāng)時，
，解得，
當(dāng)時，
解得
，
綜上：或．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
， 
.
（1）當(dāng)
時，求函數(shù)
在點
處的切線方程；
（2）當(dāng)
時，令函數(shù)
，若函數(shù)
在區(qū)間
上有兩個零點，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了響應(yīng)廈門市政府“低碳生活，綠色出行”的號召，思明區(qū)委文明辦率先全市發(fā)起“少開一天車，呵護(hù)廈門藍(lán)”綠色出行活動．“從今天開始，從我做起，力爭每周至少一天不開車，上下班或公務(wù)活動帶頭選擇步行、騎車或乘坐公交車，鼓勵拼車……”鏗鏘有力的話語，傳遞了綠色出行、低碳生活的理念．
某機構(gòu)隨機調(diào)查了本市部分成年市民某月騎車次數(shù)，統(tǒng)計如下：
年齡 | [0,10) | [10,20) | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60] |
18歲至31歲 | 8 | 12 | 20 | 60 | 140 | 150 |
32歲至44歲 | 12 | 28 | 20 | 140 | 60 | 150 |
45歲至59歲 | 25 | 50 | 80 | 100 | 225 | 450 |
60歲及以上 | 25 | 10 | 10 | 18 | 5 | 2 |
聯(lián)合國世界衛(wèi)組織于2013年確定新的年齡分段：44歲及以下為青年人，45歲至59歲為中年人，60歲及以上為老年人．用樣本估計總體的思想，解決如下問題：
（1）估計本市一個18歲以上青年人每月騎車的平均次數(shù)；
（2）若月騎車次數(shù)不少于30次者稱為“騎行愛好者”，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“騎行愛好者”與“青年人”有關(guān)？
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動，規(guī)定消費達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎活動，隨著抽獎活動的有效開展，參與抽獎活動的人數(shù)越來越多，該商店經(jīng)理對春節(jié)前
天參加抽獎活動的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，
表示第
天參加抽獎活動的人數(shù)，得到統(tǒng)計表格如下：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 5 | 8 | 8 | 10 | 14 | 15 | 17 |
（Ⅰ）經(jīng)過進(jìn)一步統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系.請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程
；
（Ⅱ）該商店規(guī)定：若抽中“一等獎”，可領(lǐng)取
元購物券；抽中“二等獎”可領(lǐng)取
元購物券；抽中“謝謝惠顧”，則沒有購物券.已知一次抽獎活動獲得“一等獎”的概率為
，獲得“二等”的概率為
.現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本次活動，且他們是否中獎相互獨立，求此二人所獲購物券總金額
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式：
，
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
(1)若函數(shù)
在
上是減函數(shù)，求實數(shù)
的取值范圍；
(2)若函數(shù)
在
上存在兩個極值點
，且
，證明： 
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】從某工廠的一個車間抽取某種產(chǎn)品50件，產(chǎn)品尺寸（單位：
）落在各個小組的頻數(shù)分布如下表：
數(shù)據(jù)分組 |
|
|
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 3 | 8 | 9 | 12 | 10 | 5 | 3 |
（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，求該產(chǎn)品尺寸落在
的概率；
（2）求這50件產(chǎn)品尺寸的樣本平均數(shù)
.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（3）根據(jù)產(chǎn)品的頻數(shù)分布，求出產(chǎn)品尺寸中位數(shù)的估計值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
： 
，其左右焦點為
、
，過點
的直線交橢圓
于
， 
兩點，線段
的中點為
， 
的中垂線與
軸和
軸分別交于
、
兩點，且
、
、
構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求橢圓
的方程；
（2）記
的面積為
， 
（
為原點）的面積為
，試問：是否存在直線
，使得
？說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】隨著社會的發(fā)展，終身學(xué)習(xí)成為必要，工人知識要更新，學(xué)習(xí)培訓(xùn)必不可少，現(xiàn)某工廠有工人1000名，其中250名工人參加短期培訓(xùn)（稱為
類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為
類工人），從該工廠的工人中共抽查了100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）得到類工人生產(chǎn)能力的莖葉圖（左圖），類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖（右圖）.
(1)問類、類工人各抽查了多少工人，并求出直方圖中的
；
(2)求類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)，并估計類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
(3)若規(guī)定生產(chǎn)能力在
內(nèi)為能力優(yōu)秀，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)在答題卡上完成下面的
列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時間長短有關(guān).能力與培訓(xùn)時間列聯(lián)表
短期培訓(xùn) | 長期培訓(xùn) | 合計 | |
能力優(yōu)秀 | |||
能力不優(yōu)秀 | |||
合計 |
參考數(shù)據(jù)：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式：
，其中
.
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