【題目】如圖，已知橢圓
： 
，其左右焦點為
、
，過點
的直線交橢圓
于
， 
兩點，線段
的中點為
， 
的中垂線與
軸和
軸分別交于
、
兩點，且
、
、
構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求橢圓
的方程；
（2）記
的面積為
， 
（
為原點）的面積為
，試問：是否存在直線
，使得
？說明理由．
【答案】（1）橢圓
的方程為
；（2）方程為
.
【解析】試題分析：（1）第一問比較簡單直接列一個方程組，解出a,b,c即可. (2)第二問首先需要設(shè)出直線的方程
（
），再利用
和相似得到
，化簡這個方程需要點G和點D的坐標，利用韋達定理求出點G和點D的坐標代入
解關(guān)于k的方程即可.
試題解析：（1）因為
、
、
構(gòu)成等差數(shù)列，
所以
，所以
，
又因為
，所以
，
所以橢圓
的方程為
．
（2）假設(shè)存在直線
，使得
，顯然直線
不能與
， 
軸垂直．
設(shè)
方程為
（
），
將其代入
，整理得
，
設(shè)
， 
，所以
，
故點
的橫坐標為
，所以
，
設(shè)
，因為
，所以
，
解得
，即
．
∵
和
相似，且
，則
，，
∴
，
整理得
，因此
， 
，
所以存在直線
，方程為
．
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】祖暅原理也就是“等積原理”，它是由我國南北朝杰出的數(shù)學家祖沖之的兒子祖暅首先提出來的，祖暅原理的內(nèi)容是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．已知，兩個平行平面間有三個幾何體，分別是三棱錐、四棱錐、圓錐（高度都為
），其中：三棱錐的底面是正三角形（邊長為
），四棱錐的底面是有一個角為
的菱形（邊長為
），圓錐的體積為
，現(xiàn)用平行于這兩個平行平面的平面去截三個幾何體，如果截得的三個截面的面積相等，那么，下列關(guān)系式正確的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
過點
，其參數(shù)方程為
（
為參數(shù)，
），以
為極點，
軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）求已知曲線和曲線交于
兩點，且
，求實數(shù)
的值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，
、
分別為橢圓
的左、右頂點，點
滿足
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線
經(jīng)過點
且與交于不同的兩點
、
，試問：在
軸上是否存在點
，使得直線 
與直線
的斜率的和為定值？若存在，請求出點的坐標及定值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex-x2+a,x∈R的圖象在x=0處的切線方程為y=bx.(e≈2.718 28)
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當x∈R時,求證:f(x)≥-x2+x;
(3)若f(x)>kx對任意的x∈(0,+∞)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，函數(shù)
.
（Ⅰ）判斷函數(shù)
的單調(diào)性；
（Ⅱ）若
時，對任意
，不等式
恒成立，求實數(shù)
的最小值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為菱形， 
平面
， 
， 
， 
， 
分別是
， 
的中點.
（1）證明： 
；
（2）設(shè)
為線段
上的動點，若線段
長的最小值為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】試題分析：（1）證明線線垂直則需證明線面垂直，根據(jù)題意易得
，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得
，又
，因此
得
平面
，從而得證（2）先找到EH什么時候最短，顯然當線段
長的最小時， 
，在
中， 
， 
， 
，∴
，由
中， 
， 
，∴
.然后建立空間直角坐標系，寫出兩個面法向量再根據(jù)向量的夾角公式即可得余弦值
解析：（1）證明：∵四邊形
為菱形， 
，
∴
為正三角形.又
為
的中點，∴
.
又
，因此
.
∵
平面
， 
平面
，∴
.
而
平面
， 
平面
且
，
∴
平面
.又
平面
，∴
.
（2）如圖， 
為
上任意一點，連接
， 
.
當線段
長的最小時， 
，由（1）知
，
∴
平面
， 
平面
，故
.
在
中， 
， 
， 
，
∴
，
由
中， 
， 
，∴
.
由（1）知
， 
， 
兩兩垂直，以
為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又
， 
分別是
， 
的中點，
可得
， 
， 
， 
，
， 
， 
，
所以
， 
.
設(shè)平面
的一法向量為
，
則
因此
，
取
，則
，
因為
， 
， 
，所以
平面
，
故
為平面
的一法向量.又
，
所以
.
易得二面角
為銳角，故所求二面角的余弦值為
.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】【2018湖北七市（州）教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知橢圓
： 
的左頂點為
，上頂點為
，直線
與直線
垂直，垂足為
點，且點
是線段
的中點．
（I）求橢圓
的方程；
（II）如圖，若直線
： 
與橢圓
交于
， 
兩點，點
在橢圓
上，且四邊形
為平行四邊形，求證：四邊形
的面積
為定值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，直角梯形
中，
，
、
分別是
、
上的點，且
，
．沿
將四邊形
翻折至
，連接
、
、
，得到多面體
，且
．
（Ⅰ）求多面體的體積；
（Ⅱ）求證：平面
⊥平面
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系
中，以
為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的方程是
，將
向上平移2個單位得到曲線
．
（1）求曲線
的極坐標方程；
（2）直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），判斷直線
與曲線
的位置關(guān)系．
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