【題目】在無窮數(shù)列中,
是給定的正整數(shù),
,
.
(Ⅰ)若,寫出
的值;
(Ⅱ)證明:數(shù)列中存在值為
的項(xiàng);
(Ⅲ)證明:若互質(zhì),則數(shù)列
中必有無窮多項(xiàng)為
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)詳見解析.
【解析】
(I)根據(jù)以及
的值,由此求得
的值,找出規(guī)律,求得
的值.(II)利用反證法,先假設(shè)
,利用遞推關(guān)系找出規(guī)律,推出矛盾,由此證明原命題成立.(III)首先利用反證法證明數(shù)列
中必有“1”項(xiàng),其次證明數(shù)列
中必有無窮多項(xiàng)為“1”,由此證得原命題成立.
解:(I)由,以及
,可知,
,
,從
開始,規(guī)律為兩個(gè)
和一個(gè)
,周期為
,重復(fù)出現(xiàn),故
.
(II)反證法:假設(shè),
由于
,
記.則
.
則,
,
,
,
,
依次遞推,有,
…,
則
當(dāng)時(shí),
與
矛盾.
故存在,使
所以,數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)值為
的項(xiàng).
(III)首先證明:數(shù)列中必有“1”項(xiàng).用反證法,
假設(shè)數(shù)列中沒有“1”項(xiàng),由(II)知,數(shù)列
中必有“0”項(xiàng),設(shè)第一個(gè)“0”項(xiàng)是
,令
,
,則必有
,
于是,由,則
,因此
是
的因數(shù),
由,則
或
,因此
是
的因數(shù).
依次遞推,可得是
的因數(shù),因?yàn)?/span>
,所以這與
互質(zhì)矛盾.所以,數(shù)列
中必有“1”項(xiàng).
其次證明數(shù)列中必有無窮多項(xiàng)為“1”.
假設(shè)數(shù)列中的第一個(gè)“1”項(xiàng)是
,令
,
,
則,
若
,則數(shù)列中的項(xiàng)從
開始,依次為“1,1,0”的無限循環(huán),
故有無窮多項(xiàng)為1;
若,則
,
若,則進(jìn)入“1,1,0”的無限循環(huán),有無窮多項(xiàng)為1;
若,則從
開始的項(xiàng)依次為
,
必出現(xiàn)連續(xù)兩個(gè)“1”項(xiàng),從而進(jìn)入“1,1,0”的無限循環(huán),故必有無窮多項(xiàng)為1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系有相同的長度單位,以原點(diǎn)
為極點(diǎn),以
軸正半軸為極軸.已知曲線
的極坐標(biāo)方程為
,曲線
的極坐標(biāo)方程為
,射線
,
,
,
與曲線
分別交異于極點(diǎn)
的四點(diǎn)
,
,
,
.
()若曲線
關(guān)于曲線
對稱,求
的值,并把曲線
和
化成直角坐標(biāo)方程.
()求
,當(dāng)
時(shí),求
的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的兩個(gè)頂點(diǎn)為
,
,平面內(nèi)P,Q同時(shí)滿足
;
;
.
求頂點(diǎn)A的軌跡E的方程;
過點(diǎn)
作兩條互相垂直的直線
,
,直線
,
被點(diǎn)A的軌跡E截得的弦分別為
,
,設(shè)弦
,
的中點(diǎn)分別為M,
試問:直線MN是否恒過一個(gè)頂點(diǎn)?若過定點(diǎn),請求出該頂點(diǎn),若不過定點(diǎn),請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體ABCDE中,,
平面ABC,
,
,F為BC的中點(diǎn),且
.
(1)求證:平面ADF;
(2)求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某部門在同一上班高峰時(shí)段對甲、乙兩地鐵站各隨機(jī)抽取了50名乘客,統(tǒng)計(jì)其乘車等待時(shí)間(指乘客從進(jìn)站口到乘上車的時(shí)間,乘車等待時(shí)間不超過40分鐘).將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按分組,制成頻率分布直方圖:
假設(shè)乘客乘車等待時(shí)間相互獨(dú)立.
(1)在上班高峰時(shí)段,從甲站的乘客中隨機(jī)抽取1人,記為;從乙站的乘客中隨機(jī)抽取1人,記為
.用頻率估計(jì)概率,求“乘客
,
乘車等待時(shí)間都小于20分鐘”的概率;
(2)從上班高峰時(shí)段,從乙站乘車的乘客中隨機(jī)抽取3人,表示乘車等待時(shí)間小于20分鐘的人數(shù),用頻率估計(jì)概率,求隨機(jī)變量
的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,
平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,
,
,且
,
,點(diǎn)E是線段PD的中點(diǎn).
Ⅰ
求證:
平面PAB;
Ⅱ
求證:平面
平面PCD;
Ⅲ
當(dāng)直線PC與平面PAD所成的角大小為
時(shí),求線段PA的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,直線
,若直線
上存在點(diǎn)
,過點(diǎn)
引圓的兩條切線
,使得
,則實(shí)數(shù)
的取值范圍是( )
A. B. [
,
]
C. D.
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】順次連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長為
且面積為
的菱形。
(1)求橢圓的方程;
(2),
是橢圓
上的兩個(gè)不同點(diǎn),若直線
,
的斜率之積為
(以
為坐標(biāo)原點(diǎn)),線段
上有一點(diǎn)
滿足
,連接并延長交橢圓
于點(diǎn)
,求橢圓
的值.
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