Question

【題目】已知的兩個頂點為，，平面內(nèi)P，Q同時滿足；；．

求頂點A的軌跡E的方程；

過點作兩條互相垂直的直線，，直線，被點A的軌跡E截得的弦分別為，，設弦，的中點分別為M，試問：直線MN是否恒過一個頂點？若過定點，請求出該頂點，若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2) 直線MN過定點

【解析】

由已知向量等式可知P為三角形ABC的重心，設，則，再由，知Q是三角形ABC的外心，結合得

由列式求解頂點A的軌跡E的方程；

設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求得M的坐標，同理求得N的坐標，求得MN的斜率，寫出直線方程的點斜式，整理后利用線系方程說明直線MN過定點

解：，為三角形ABC的重心，設，則，

由，知Q是三角形ABC的外心，在x軸上，

又，

由，得，整理得．

，B，C三點不共線，

頂點A的軌跡方程為；

由知，為A的軌跡E的右焦點，

設，，

由，得．

則，，

．

由中點坐標公式得，

同理可求得

則當時，．

直線MN的方程為．

即．

直線MN過定點