Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，線段長(zhǎng)為，橢圓的離心率為．

（1）求該橢圓的方程；

（2）已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．

①若直線的斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②求證點(diǎn)在一條定直線上，并寫出該直線方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②證明詳見解析，直線方程為．

【解析】

（1）由短軸長(zhǎng)及離心率和之間的關(guān)系求出的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；

（2）①由（1）可得的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程，與橢圓聯(lián)立求出的坐標(biāo)，求出直線，再求兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)；

②設(shè)直線的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出直線，再求兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)與的坐標(biāo)的關(guān)系，由兩根之和及兩根之積代入可得，解得，即在直線上．

（1），，

又，解得：，

橢圓的方程為；

（2）①由（1）可得：，，設(shè)，，

直線方程為，代入橢圓方程整理得：

解得：，，，

直線方程為：；直線方程為，

由得：，，；

②設(shè)，，

由整理可得：，

則，，

直線方程為；直線方程為；

由得：，

又，，，

，

，在定直線上.