【題目】已知函數(shù),
.
(1)若,判斷函數(shù)
的單調(diào)性并說明理由;
(2)若,求證:關(guān)
的不等式
在
上恒成立.
【答案】(1)函數(shù)在
上單調(diào)遞減,理由見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分析導(dǎo)數(shù)
在區(qū)間
上的符號(hào),即可得出結(jié)論;
(2)將所證不等式變形為,證明出
,于是將不等式轉(zhuǎn)化為證明
,通過證明出
,將不等式轉(zhuǎn)化為
,然后構(gòu)造函數(shù)
,利用單調(diào)性證明即可.
(1)函數(shù)在
上單調(diào)遞減,理由如下:
依題意,
,則
.
當(dāng)時(shí),
,故函數(shù)
在
上單調(diào)遞減;
(2)要證,即證
,
即證.
設(shè),則
.
當(dāng)時(shí),
,所以
在
上單調(diào)遞增,
所以,即
.
故當(dāng)時(shí),
,
故即證.
令,
.
由(1)可知,,
故在
上單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)時(shí),
,即
,
所以,當(dāng)時(shí),
,
所以只需證明,即證明
.
設(shè),則
.
所以在
上單調(diào)遞增,所以
,所以原不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩定點(diǎn),
,點(diǎn)P滿足
.
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)若,直線l與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),
,
的斜率之和為2,問直線l是否恒過定點(diǎn),若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線的普通方程和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)是曲線
上任意一點(diǎn),直線
與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為
,求
最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求
在
處的切線方程;
(2)對(duì)任意的,
恒成立,求
的取值范圍;
(3)設(shè),在(2)的條件下,當(dāng)
取最小值且
時(shí),試比較
與
在
上的大小,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機(jī)的更新?lián)Q代,各種方便的
相繼出世,其功能也是五花八門.某大學(xué)為了調(diào)查在校大學(xué)生使用
的主要用途,隨機(jī)抽取了
名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,各主要用途與對(duì)應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示,現(xiàn)有如下說法:
①可以估計(jì)使用主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù);
②可以估計(jì)不足的大學(xué)生使用
主要玩游戲;
③可以估計(jì)使用主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的
.
其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓:
,過
且與圓
相切的動(dòng)圓圓心為
.
(1)求點(diǎn)的軌跡
的方程;
(2)已知過點(diǎn)的兩直線
和
互相垂直,且直線
交曲線
于
,
兩點(diǎn),直線
交曲線
于
,
兩點(diǎn)(
,
,
,
為不同的四個(gè)點(diǎn)),求四邊形
的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
.
(1)若是函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式對(duì)
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了增強(qiáng)消防意識(shí),某部門從男,女職工中各隨機(jī)抽取了20人參加消防知識(shí)測試(滿分為100分),這40名職工測試成績的莖葉圖如下圖所示
(1)根據(jù)莖葉圖判斷男職工和女職工中,哪類職工的測試成績更好?并說明理由;
(2)(ⅰ)求這40名職工成績的中位數(shù),并填寫下面列聯(lián)表:
超過 | 不超過 | |
男職工 | ||
女職工 |
(ⅱ)如果規(guī)定職工成績不少于m定為優(yōu)秀,根據(jù)(ⅰ)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為消防知識(shí)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)?
附:.
P( | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓E:
(
)的長軸長為4,左準(zhǔn)線l的方程為
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線過橢圓E的左焦點(diǎn)
,且與橢圓E交于A,B兩點(diǎn).
①若,求直線
的方程;
②過A作左準(zhǔn)線l的垂線,垂足為,點(diǎn)
,求證:
,B,G三點(diǎn)共線.
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