Question

在△ABC中，若AB=2，AC²+BC²=8，則△ABC面積的最大值為

3

．

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知的兩等式代入得到cosC=

2

ab

，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到cotC=

cosC

sinC

，把表示出的cosC代入，整理后根據(jù)三角形的面積公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，用tanC表示出三角形ABC的面積S，要求面積S的最大值，即要求tanC的最大值，而cosC在（0，90°）為減函數(shù)，tanC為增函數(shù)，故cosC取得最小值，tanC就取得最大值，根據(jù)余弦定理表示出的cosC得到，a=b時(shí)cosC取得最小值，由a與b的關(guān)系式求出a=b=2，即三角形ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形時(shí)面積最大，根據(jù)邊長(zhǎng)為2即可求出此時(shí)三角形ABC面積，即為面積的最大值．

解答：解：令A(yù)C=b，BC=a，AB=c，則c=2，a²+b²=8，
根據(jù)余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

ab

，
∴cotC=

cosC

sinC

=

2

absinC

=

1

1 2 absinC

=

1

S

，
即S=tanC，又0＜C＜90°，且tanC單調(diào)增，
而cosC=

a2+b2-c2

2ab

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，cosC最小，
又cosC單調(diào)減，cosC最小時(shí)，tanC最大，又a²+b²=8，
則當(dāng)a=b=2，即△ABC為等邊三角形時(shí)，△ABC面積最大，最大面積為

3

4

×2²=

3

．
故答案為：

3

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，余弦、正切函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式以及三角形的面積公式，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握公式及余弦定理是解本題的關(guān)鍵．