Question

已知

cos4α

cos2β

+

sin4α

sin2β

=1，求證

cos4β

cos2α

+

sin4β

sin2α

=1．

Answer 1

分析：對(duì)所給的式子化為整式，再利用平方關(guān)系將cos⁴α表示成（1-sin²α）²，展開(kāi)后再利用平方關(guān)系合并、化簡(jiǎn)，最后利用完全平方公式化簡(jiǎn)，求出關(guān)系式后，再由平方關(guān)系，代入所要證明的等式左邊化簡(jiǎn)即可．

解答：解：由

cos4α

cos2β

+

sin4α

sin2β

=1得，
cos⁴αsin²β+sin⁴αcos²β=cos²βsin²β，
∴（1-sin²α）²sin²β+sin⁴αcos²β-cos²βsin²β=0
（1-2sin²α+sin⁴α）sin²β+sin⁴αcos²β-cos²βsin²β=0
sin²β-2sin²αsin²β+sin⁴αsin²β+sin⁴αcos²β-cos²βsin²β=0
sin²β（1-cos²β）-2sin²αsin²β+sin⁴α（sin²β+cos²β）=0，
即sin⁴β-2sin²αsin²β+sin⁴α=0，
則（sin²β-sin²α）²=0，
得sin²β=sin²α，
再由平方關(guān)系得，cos²β=cos²α，
代入

cos4β

cos2α

+

sin4β

sin2α

得cos²β+sin²β=1，
即

cos4β

cos2α

+

sin4β

sin2α

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題是三角恒等變換的綜合題，主要考查了同角的平方關(guān)系的應(yīng)用，化簡(jiǎn)比較復(fù)雜，次數(shù)很高，注意降冪的方法，很多學(xué)生入手很難，難度較大，需要足夠的耐心．