Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）在直線的參數(shù)方程中消去，可得出直線的普通方程，由可將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，求出直線的普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角恒等變換思想以及正弦函數(shù)的有界性可求得點(diǎn)到直線距離的最大值，進(jìn)而可求得面積的最大值.

（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)得，

所以，直線的普通方程為.

曲線的極坐標(biāo)方程是，即，

化為普通方程得，即，即.

因此，曲線的直角坐標(biāo)方程為；

（2）點(diǎn)，所以的直線方程為.

點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以點(diǎn)到直線的距離，其中由，來確定.

當(dāng)時(shí)，，

所以面積的最大值為.