Question

【題目】設(shè)，函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，且對任意，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）分類討論，見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論、或，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.

（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，求得，從而可得解析式，由（Ⅰ）知，時，的定義域內(nèi)單減，不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，令，可知在內(nèi)單減，只需恒成立，分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為即可.

（Ⅰ）的定義域是.

.

（1）當(dāng)時，，的定義域內(nèi)單增；

（2）當(dāng)時，由得，.

此時在內(nèi)單增，在內(nèi)單減；

（3）當(dāng)時，，的定義域內(nèi)單減.

（Ⅱ）因為，所以，.

此時.

由（Ⅰ）知，時，的定義域內(nèi)單減.

不妨設(shè)，

則，即，

即恒成立.

令，，則在內(nèi)單減，即.

，，.

而，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，

所以，故實數(shù)的取值范圍是.