【題目】如圖，在三棱柱
中，
為正三角形，
，
， 
，點
在線段
上，且
.
（1）證明：
；
（2）求
和平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
(1)要證明
,只需證明
平面
,只需證明
,由
，
，所以
，所以
,因為
，所以，又
,則易證.(2) 取
中點
，證明
平面
，建立空間直角坐標(biāo)系，
和平面
所成角的正弦值就是
和設(shè)平面的一個法向量
所成角的余弦值
（1）證明：由，，所以，所以，
因為，所以，
又，
.
所以平面，所以.
（2）解：由（1）知
，又
，所以
，
又
，
，所以
平面
，
平面，所以平面
平面.
取中點，由
為正三角形知
，
平面
，
又平面
平面
，所以平面，
以為坐標(biāo)系原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則
，
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)平面的一個法向量，則
且
，
所以
，取
，則
，
，
.
所以
，
所以直線和平面所成角的正弦值為.
天天向上一本好卷系列答案
小學(xué)生10分鐘應(yīng)用題系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某學(xué)校為了了解該校高三年級學(xué)生寒假在家自主學(xué)習(xí)的情況，隨機對該校300名高三學(xué)生寒假的每天學(xué)習(xí)時間（單位：h）進行統(tǒng)計，按照
，
，
，
，
的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計算該校高三年級學(xué)生的平均每天學(xué)習(xí)時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；
（Ⅱ）該校規(guī)定學(xué)習(xí)時間超過4h為合格，否則不合格．已知這300名學(xué)生中男生有140人，其中合格的有70人，請補全下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有99.9%的把握認(rèn)為該校高三年級學(xué)生的性別與學(xué)習(xí)時長合格有關(guān)？
男生 | 女生 | 總計 | |
不合格 | |||
合格 | 70 | ||
總計 | 140 | 160 | 300 |
參考公式：
，其中
．
參考附表：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的內(nèi)接等邊三角形
的面積為
（其中
為坐標(biāo)原點）．
（1）試求拋物線
的方程；
（2）已知點
兩點在拋物線上，
是以點
為直角頂點的直角三角形．
①求證：直線
恒過定點；
②過點作直線的垂線交于點
，試求點的軌跡方程，并說明其軌跡是何種曲線．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下圖統(tǒng)計了截止到2019年年底中國電動汽車充電樁細(xì)分產(chǎn)品占比及保有量情況，關(guān)于這5次統(tǒng)計，下列說法正確的是（ ）
A.私人類電動汽車充電樁保有量增長率最高的年份是2018年
B.公共類電動汽車充電樁保有量的中位數(shù)是25.7萬臺
C.公共類電動汽車充電樁保有量的平均數(shù)為23.12萬臺
D.從2017年開始，我國私人類電動汽車充電樁占比均超過50%
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2019年，河南省鄭州市的房價依舊是鄭州市民關(guān)心的話題．總體來說，二手房房價有所下降，相比二手房而言，新房市場依然強勁，價格持續(xù)升高．已知銷售人員主要靠售房提成領(lǐng)取工資．現(xiàn)統(tǒng)計鄭州市某新房銷售人員一年的工資情況的結(jié)果如圖所示，若近幾年來該銷售人員每年的工資總體情況基本穩(wěn)定，則下列說法正確的是（ ）
A.月工資增長率最高的為8月份
B.該銷售人員一年有6個月的工資超過4000元
C.由此圖可以估計，該銷售人員2020年6，7，8月的平均工資將會超過5000元
D.該銷售人員這一年中的最低月工資為1900元
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
平面
，四邊形
為平行四邊形，且
，
.
（1）證明：
平面
（2）當(dāng)直線
與平面所成角的正切值為
時，求銳二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，
軸非負(fù)半軸為極軸，長度單位相同，建立極坐標(biāo)系，曲線
的極坐標(biāo)方程為
，直線
過點
傾斜角為
.
（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并寫出直線的參數(shù)方程；
（2）當(dāng)
時，直線交曲線于
，
兩點，求
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】圖1是矩形
，
，
，M為
的中點，將
沿
翻折，得到四棱錐
，如圖2．
（Ⅰ）若點N為
的中點，求證：
平面
；
（Ⅱ）若
．求點A到平面
的距離．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
，函數(shù)
.
（Ⅰ）討論函數(shù)
在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點
處的切線與直線
平行，且對任意
，
，不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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