【題目】如圖所示,在直三棱柱中,
,
,
,
,點(diǎn)
在線(xiàn)段
上.
(1)若,求異面直線(xiàn)
和
所成角的余弦值;
(2)若直線(xiàn)與平面
所成角為
,試確定點(diǎn)
的位置.
【答案】(1)(2)點(diǎn)M是線(xiàn)段
的中點(diǎn).
【解析】
(1)以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以
,
,
所在直線(xiàn)為
軸,
軸,
軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,得到
,
,再代入向量夾角公式計(jì)算,即可得答案;
(2)設(shè),得
,直線(xiàn)
與平面
所成角為
,得到關(guān)于
的方程,解方程即可得到點(diǎn)
的位置.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以
,
,
所在直線(xiàn)為
軸,
軸,
軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則
,
,
,
.
(1)因?yàn)?/span>,所以
.
所以,
.
所以.
所以異面直線(xiàn)和
所成角的余弦值為
.
(2)由,
,
,
知,
.
設(shè)平面的法向量為
,由
得
,
令,則
,
,所以平面
的一個(gè)法向量為
.
因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段
上,所以可設(shè)
,所以
,
因?yàn)橹本(xiàn)與平面
所成角為
,所以
.
由,得
,
解得或
.
因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段
上,所以
,
即點(diǎn)是線(xiàn)段
的中點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年,河南省鄭州市的房?jī)r(jià)依舊是鄭州市民關(guān)心的話(huà)題.總體來(lái)說(shuō),二手房房?jī)r(jià)有所下降,相比二手房而言,新房市場(chǎng)依然強(qiáng)勁,價(jià)格持續(xù)升高.已知銷(xiāo)售人員主要靠售房提成領(lǐng)取工資.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)鄭州市某新房銷(xiāo)售人員一年的工資情況的結(jié)果如圖所示,若近幾年來(lái)該銷(xiāo)售人員每年的工資總體情況基本穩(wěn)定,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.月工資增長(zhǎng)率最高的為8月份
B.該銷(xiāo)售人員一年有6個(gè)月的工資超過(guò)4000元
C.由此圖可以估計(jì),該銷(xiāo)售人員2020年6,7,8月的平均工資將會(huì)超過(guò)5000元
D.該銷(xiāo)售人員這一年中的最低月工資為1900元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形中,
,以
為折痕把
折起,使點(diǎn)
到達(dá)點(diǎn)
的位置,且
.
(1)證明:平面
;
(2)若為
的中點(diǎn),二面角
等于60°,求直線(xiàn)
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校周五的課程表設(shè)計(jì)中,要求安排8節(jié)課(上午4節(jié)下午4節(jié)),分別安排語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)物理化學(xué)生物政治歷史各一節(jié),其中生物只能安排在第一節(jié)或最后一節(jié),數(shù)學(xué)和英語(yǔ)在安排時(shí)必須相鄰(注:上午的最后一節(jié)與下午的第一節(jié)不記作相鄰),則周五的課程順序的編排方法共有( ).
A.4800種B.2400種C.1200種D.240種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一條東西流向的筆直河流,現(xiàn)利用航拍無(wú)人機(jī)監(jiān)控河流南岸相距150米的
兩點(diǎn)處(
在
的正西方向),河流北岸的監(jiān)控中心
在
的正北方100米處,監(jiān)控控制車(chē)
在
的正西方向,且在通向
的沿河路上運(yùn)動(dòng),監(jiān)控過(guò)程中,保證監(jiān)控控制車(chē)
到無(wú)人機(jī)
和到監(jiān)控中心
的距離之和150米,平面
始終垂直于水平面
,且
,
兩點(diǎn)間距離維持在100米.
(1)當(dāng)監(jiān)控控制車(chē)到監(jiān)控中心
的距離為100米時(shí),求無(wú)人機(jī)
距離水平面
的距離;
(2)若記無(wú)人機(jī)看
處的俯角(
),監(jiān)控過(guò)程中,四棱錐
內(nèi)部區(qū)域的體積為監(jiān)控影響區(qū)域
,請(qǐng)將
表示為關(guān)于
的函數(shù),并求出監(jiān)控影響區(qū)域的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),函數(shù)
.
(Ⅰ)討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)
處的切線(xiàn)與直線(xiàn)
平行,且對(duì)任意
,
,不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)
的直線(xiàn)依次交拋物線(xiàn)及準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)
,若
,且
,則
( )
A.2B.C.3D.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美寓意美好的曲線(xiàn),曲線(xiàn)就是其中之一(如圖).給出下列三個(gè)結(jié)論:
①曲線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)(即橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn));
②曲線(xiàn)上存在到原點(diǎn)的距離超過(guò)
的點(diǎn);
③曲線(xiàn)所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.
其中,所有錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)
處的切線(xiàn)方程為
.
(1)求,
;
(2)函數(shù)圖像與
軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為
,且在點(diǎn)
處的切線(xiàn)方程為
,函數(shù)
,
,求
的最小值;
(3)關(guān)于的方程
有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
,
,且
,證明:
.
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