Question

【題目】已知橢圓過拋物線的焦點，，分別是橢圓的左、右焦點，且.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線與拋物線相切，且與橢圓交于，兩點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）1.

【解析】試題分析：（1）由已知，求出拋物線的焦點的坐標(biāo)，可求得橢圓的值，分別求出向量，的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的公式及，從而求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）因為直線與拋物線相切，由切點可設(shè)直線方程為，再聯(lián)立直線與橢圓方程，由弦長公式，求得的長，由點到直線的距離公式求得原點到的距離，列出面積的計算式子，從而求得面積的最大值.

試題解析：（1），又，.又，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線與拋物線相切于點，則，即，

聯(lián)立直線與橢圓，消去，整理得.

由，得.

設(shè)，則：.

則

原點到直線的距離.

故面積 ，

當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，

故面積的最大值為1.