Question

【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓的上一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且垂直于的直線與直線交于點(diǎn)，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直,根據(jù)等腰直角三角形及橢圓的幾何性質(zhì)可得,從而可得，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2））設(shè)， ，則，先求出當(dāng)時(shí)的面積，當(dāng)時(shí)，直線的方程為．即，直線的方程為根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式以及兩點(diǎn)間的距離公式可得，利用基本不等式可得面積的最小值．

試題解析：（1）由題意，得 解得．

所以橢圓的方程為．

（2）設(shè)， ，則．

①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)， 點(diǎn)坐標(biāo)為或，

．

②當(dāng)時(shí)，直線的方程為．即，

直線的方程為．

點(diǎn)到直線的距離為

， ．

所以， ．

又，

所以

且，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

綜上，當(dāng)時(shí)， 取得最小值1.