Question

已知函數(shù)f(x)=

x+3

x

：
（1）寫(xiě)出此函數(shù)的定義域和值域；
（2）證明函數(shù)在（0，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）試判斷并證明函數(shù)y=（x-3）f（x）的奇偶性．

Answer 1

（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}．
f(x)=1+

3

x

，∴值域?yàn)閧y|y≠1}．
（2）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，
則：f(x2)-f(x1)=(1+

3

x2

)-(1+

3

x1

)=

3

x2

-

3

x1

=

3(x1-x2)

x1•x2

，
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁•x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
∴函數(shù)在（0，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
設(shè)g(x)=(x-3)f(x)=

x2-9

x

，
∵g(-x)=

x2-9

-x

=-g(x)，
∴此函數(shù)為奇函數(shù)．