Question

【題目】已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn)，且和直線相切.

(Ⅰ)求該動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

(Ⅱ)已知點(diǎn)，若斜率為1的直線與線段相交（不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)），且與曲線交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ）；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線的定義得到點(diǎn)到點(diǎn)距離等于點(diǎn)到直線距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，從而得到方程；（2）聯(lián)立直線和曲線得到二次方程，由弦長(zhǎng)公式得到，由點(diǎn)線距離得到，進(jìn)而得到面積表達(dá)式，求導(dǎo)可得到最值.

解析：

(Ⅰ)由題意可知點(diǎn)到點(diǎn)距離等于點(diǎn)到直線距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，

故：曲線的方程是.

(Ⅱ)設(shè)直線的方程為,其中

聯(lián)立方程組,消去得/span>，

恒大于零

設(shè),由求根公式得：

,∴點(diǎn)到直線的距離為

令，則

令

在上遞增，在上遞增.

在時(shí)即時(shí)取得最大值.

的最大面積為.