Question

如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為．

（1）求證：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（2）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，．求此時(shí)拋物線的方程。

Answer 1

(1)根據(jù)已知條件設(shè)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，，然后借助于拋物線的導(dǎo)數(shù)來得到斜率值，．，進(jìn)而解方程，得到證明。
(2)拋物線方程為或．

試題分析：（1）證明：由題意設(shè)．
由得，得，所以，．
因此直線的方程為，
直線的方程為．
所以，①  ．②
由①減②得，因此，即．
所以 三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．              6分
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，將其代入①、②并整理得：
，，
所以是方程的兩根，
因此，，
又，所以．
由弦長公式得．
又，所以或，
因此所求拋物線方程為或．    12分
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用直線與拋物線的相切得到切線的斜率，同時(shí)聯(lián)立方程組求解弦長，屬于中檔題。