Question

【題目】已知橢圓C：過點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為 ，

（1）求C的方程；

（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）12.

【解析】

(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；

(2)首先利用幾何關(guān)系找到三角形面積最大時(shí)點(diǎn)N的位置，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合判別式確定點(diǎn)N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.

(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.

當(dāng)y=0時(shí)，解得，所以a=4，

橢圓過點(diǎn)M(2，3)，可得，

解得b2=12.

所以C的方程：.

(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，

如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)△AMN的面積取得最大值.

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，

可得：，

化簡可得：，

所以，即m2=64，解得m=±8，

與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程：，

直線AM方程為：，

點(diǎn)N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，

利用平行線之間的距離公式可得：，

由兩點(diǎn)之間距離公式可得.

所以△AMN的面積的最大值：.