Question

求下列數列的前n項和：

(1)(a-1)+(a²-2)+…+(aⁿ-n);

(2)2,22,222,2 222,…;

(3)1+2x+3x²+…+nx^n-1(x≠0).

   

Answer 1

思路分析：關于數列的求和問題，首先應考慮是否能直接用等差、等比數列求和公式求和.若不能，則應考慮能否通過變換變?yōu)榈炔�、等比數列的求和問題.(1)可以先分組，后求和，分成(a+a²+…+aⁿ)與(-1-2-3-…-n)兩組求和.(2)通過變換通項將每一項變?yōu)?IMG align="middle" height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/41/21/189806412110002521/1.gif" width=16 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1029">(10ⁿ-1),再用等比數列求和.(3)可采用錯位相減法求和.

解:(1)當a=0時，(a-1)+(a-2)+…+(a-n)=-.

       當a=1時，(a-1)+(a-2)+…+(a-n)=n-=-.

       當a≠1且a≠0時，

(a-1)+(a²-2)+…+(aⁿ-n)=(a+a²+…+aⁿ)-(1+2+…+n)=-.

(2)∵a_n==×=(10ⁿ-1),

∴S_n=(10-1)+(10²-1)+…+(10ⁿ-1)

=(10+10²+…+10ⁿ)-n

=×-n

=-n.

(3)設S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1,                          ①

    則xS_n=x+2x²+…+(n-1)x^n-1+nxⁿ,                  ②

①-②,得(1-x)S_n=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ.              ③

    當x=1時，S_n=1+2+3+…+n=;

    當x≠1時，由③得S_n=-.