Question

已知點(diǎn)P在直線(xiàn)x+y+5=0上，點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)y²=2x上，則|PQ|的最小值等于

 

．

Answer 1

分析：設(shè)與直線(xiàn)x+y+5=0平行切與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)為y=-x+b則可知|PQ|的最小值即為兩直線(xiàn)的距離．直線(xiàn)方程y=-x+b與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消去x根據(jù)判別式等于0求得b，進(jìn)而求得直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的切點(diǎn)，最后根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得答案．

解答：解：設(shè)與直線(xiàn)x+y+5=0平行且與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)為y=-x+b則可知|PQ|的最小值即為兩直線(xiàn)間的距離．
則

y=-x+b y 2=2x

消去x得y²+2y-2b=0，△=4+8b=0
∴b=-

1

2

，進(jìn)而可得直線(xiàn)y=-x+b與拋物線(xiàn)交點(diǎn)為（

1

2

，-1）
交點(diǎn)到直線(xiàn)x+y+5=0的距離為

1 2 -1+5

2

=

9 2

4

故答案為

9 2

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．常涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)聯(lián)立方程，根據(jù)判別式來(lái)判斷直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系．