Question

已知橢圓，其中短軸長和焦距相等，且過點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P（x，y）在橢圓C的外部，過P做橢圓的兩條切線PM、PN，其中M、N為切點(diǎn)，則MN的方程為．已知點(diǎn)P在直線x+y-4=0上，試求橢圓右焦點(diǎn)F到直線MN的距離的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程為，由，過點(diǎn)M（2，），能導(dǎo)出橢圓方程．
（2）設(shè)P（x，y），則即x=4-y，因x+y-4=0與橢圓無交點(diǎn)，所以P在橢圓C的外部，MN所在直線方程為，由此能求出橢圓右焦點(diǎn)F到直線MN的距離的最小值．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為，
∵，過點(diǎn)M（2，），
∴，
∴，
∴橢圓方程為．
（2）設(shè)P（x，y），則x+y-4=0，即x=4-y，
∵x+y-4=0與橢圓無交點(diǎn)，∴P在橢圓C的外部，
∴MN所在直線方程為，
即xx+2yy-8=0，
設(shè)所求距離為d，且F（2，0），
則
=，
∴當(dāng)y=4時(shí)，d_min=1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．