Question

【題目】已知函數， ，其中是自然常數.

(1)判斷函數在內零點的個數，并說明理由；

(2) ， ，使得不等式成立，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）對函數求導， ，得到函數在上單調遞增，根據零點存在定理得到函數存在一個零點；（2）不等式等價于，即，對兩邊的函數分別求導研究單調性，求得最值得到取得最大值， 取得最小值，故只需要,解出即可.

解析：

(1)函數在上的零點的個數為1，理由如下：

因為，所以，

因為，所以，所以函數在上單調遞增.

因為， ，根據函數零點存在性定理得函數在上存在1個零點.

(2)因為不等式等價于，

所以， ，使得不等式成立，等價于

，即，

當時， ，故在區(qū)間上單調遞增，

所以當時， 取得最小值，又，

當時， ， ， ，所以，故函數在區(qū)間上單調遞減.

因此，當時， 取得最大值，所以，所以，

所以實數的取值范圍為.