Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上一點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作軸的垂線，交橢圓于，求證：存在實(shí)數(shù)，使得.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，由得到a=2,再把點(diǎn) 的坐標(biāo)代入橢圓方程，解方程組即得橢圓的方程.(2)第(2)問，設(shè)的方程為.

設(shè)點(diǎn)，，再求出NG的方程，證明直線過點(diǎn)，即可證明

存在實(shí)數(shù)，使得.

試題解析：

(1)依題意，，故.

將代入橢圓中，解得，

故橢圓的方程為：.

（2）由題知直線的斜率必存在，設(shè)的方程為.

設(shè)點(diǎn)，，則，

聯(lián)立，得.

即，

則，，

由題可得直線方程為，

又∵，.

∴直線方程為，

令，整理得

，

即直線過點(diǎn).

又∵橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴三點(diǎn)，，在同一直線上.

∴ 存在實(shí)數(shù)，使得 .