Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若在上存在兩個極值點，求的取值范圍；

（2）若，證明：.

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）在上存在兩個極值點等價于在有兩個根，分離參數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性及極值，即可得出取值；

范圍.（2）即，等價于,令，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，證明最大值小于0即可.

（1）由題意可知，，，

在上存在兩個極值點等價于在有兩個根，

由可得，，令，

則，令，

可得，當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減，且，

當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；

所以是的極大值也是最大值，又當(dāng)，當(dāng) 大于趨向于，

要使在有兩個根，只需，

所以的取值范圍為；

（2）證明：即，等價于，

令,，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，

當(dāng)時，，令，

，又，

取，且使，即，

則有，

因為，故存在唯一零點，

即有唯一的極值點且為極小值點，

由可得，，故，

因為，故為上的增函數(shù)，

所以，所以．

綜上，當(dāng)時，總有．