Question

【題目】教材曾有介紹：圓上的點(diǎn)處的切線方程為.我們將其結(jié)論推廣：橢圓（）上的點(diǎn)處的切線方程為，在解本題時(shí)可以直接應(yīng)用.已知，直線與橢圓：（）有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓上的兩點(diǎn)、分別作該橢圓的兩條切線、，且與交于點(diǎn).當(dāng)變化時(shí)，求面積的最大值；

（3）若是橢圓上不同的兩點(diǎn)，軸，圓過(guò)且橢圓上任意一點(diǎn)都不在圓內(nèi)，則稱圓為該橢圓的一個(gè)內(nèi)切圓.試問(wèn)：橢圓是否存在過(guò)左焦點(diǎn)的內(nèi)切圓？若存在，求出圓心的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）將直線代入橢圓方程，得到的方程，由直線和橢圓相切的條件：判別式為0，解方程可得的值；
（2）設(shè)切點(diǎn)，可得切線，再由代入上式，結(jié)合兩點(diǎn)確定一條直線，可得切點(diǎn)弦方程，即有的斜率，結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式，由①可得的方程為，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和直線與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，求得的面積，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最大值；
（3）依題意可得符合要求的圓，即為過(guò)點(diǎn)的三角形的外接圓.所以圓心在軸上.根據(jù)題意寫出圓的方程.由于圓的存在必須要符合，橢圓上的點(diǎn)到圓距離的最小值是，結(jié)合圖形可得圓心在線段上，半徑最小.又由于點(diǎn)已知，即可求得結(jié)論.

解：（1）將直線代入橢圓方程，
可得，
由直線和橢圓相切，可得
，
解得（由），
即有橢圓的方程為；
（2）設(shè)切點(diǎn)，
可得切線，
由與交于點(diǎn)，可得
，
由兩點(diǎn)確定一條直線，可得的方程為，
即為，
原點(diǎn)到直線的距離為，
由消去，可得，
，
可得，
可得的面積，
設(shè)，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最大值；

（3）橢圓的對(duì)稱性，可以設(shè)，點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)，
則圓的方程為：，
由內(nèi)切圓定義知道，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值是，
設(shè)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，
則，
當(dāng)時(shí)，最小，，①，
又圓過(guò)點(diǎn)，，②
點(diǎn)在橢圓上，，③
由①②③，解得：或，
又時(shí)，，不合題意，
綜上：橢圓存在符合條件的內(nèi)切圓，點(diǎn)的坐標(biāo)是.