如圖1,矩形

中,

,

,

、

分別為

、

邊上的點,且

,

,將

沿

折起至

位置(如圖2所示),連結

、

、

,其中

.

(Ⅰ)求證:

平面

;
(Ⅱ)求直線

與平面

所成角的正弦值.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)

.
試題分析:(Ⅰ)三角形

和三角形

中,各邊長度確定,故可利用勾股定理證明垂直關系


,進而由線面垂直的判定定理可證明

平面

;(Ⅱ)方法一(向量法):根據(jù)題意,以

為坐標原點建立空間直角坐標系,再表示出相關點的坐標,再求面

的法向量和直線

的方向向量,其夾角余弦值的絕對值即直線和平面所成角的正弦值;方法二(綜合法):過點

作

于

,則易證

平面

,所以

為直線

與平面

所成的角,進而在

求角.
試題解析:(Ⅰ)由翻折不變性可知,

,

, 在

中,

,所以

,在圖

中,易得

,
在

中,

,所以

,又

,

平面

,

平面

,所以

平面

.

(Ⅱ)方法一:以

為原點,建立空間直角坐標系

如圖所示,則

,

,

,

,所以

,

,

, 設平面

的法向量為

,則

,即

,解得

,令

,得

,設直線

與平面

所成角為

,則


.
所以直線

與平面

所成角的正弦值為

.
方法二:過點

作

于

,由(Ⅰ)知

平面

,而

平面

,所以

,又

,

平面

,

平面

,所以

平面

,所以

為直線

與平面

所成的角. 在

中,

,在

中,由等面積公式得


,在

中,

,所以直線

與平面

所成角的正弦值為

.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在四棱錐

中,底面

為矩形,

底面

,

、

分別是

、

中點.

(1)求證:

平面

;
(2)求證:

.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在三棱錐

中,

分別為

的中點.

(1)求證:EF∥平面

;
(2)若平面

平面

,且

,

º,求證:平面

平面

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,四邊形PDCE為矩形,ABCD為梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=

.

(Ⅰ)若M為PA中點,求證:AC∥平面MDE;
(Ⅱ)求平面PAD與PBC所成銳二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在三棱錐

中,平面

平面

,

,

.設

,

分別為

,

中點.

(Ⅰ)求證:

∥平面

;
(Ⅱ)求證:

平面

;
(Ⅲ)試問在線段

上是否存在點

,使得過三點

,

,

的平面內(nèi)的任一條直線都與平面

平行?若存在,指出點

的位置并證明;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,菱形ABCD中,

,

平面ABCD,

平面ABCD,


(1)求證:

平面BDE;
(2)求銳二面角

的大。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖的幾何體中,

平面

,

平面

,△

為等邊三角形,

,

為

的中點.

(1)求證:

平面

;
(2)求證:平面

平面

.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知

是三條不同的直線,

是三個不同的平面,下列命題:
①若

,

,則

; ②若

,

,則

;
③若

,

,

,則

; ④若

,則

.
其中真命題是_
__.(寫出所有真命題的序號).
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
下列四個正方體圖形中,

為正方體的兩個頂點,

分別為其所在棱的中點,能得出

平面

的圖形的序號是( )

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