Question

【題目】某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在處按方向釋放機(jī)器人甲，同時在處按某方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在處成功攔截機(jī)器人甲，若點(diǎn)在矩形區(qū)城內(nèi)(包含邊界)，則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗，已知米，為中點(diǎn)，機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍，比賽中兩機(jī)器人均按勻速直線遠(yuǎn)動方式行進(jìn).

（1）如圖建系，求的軌跡方程；

（2）記與的夾角為，，如何設(shè)計(jì)的長度，才能確保無論的值為多少，總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使之挑戰(zhàn)成功？

（3）若與的夾角為，足夠長，則如何設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度，才能挑戰(zhàn)成功？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先設(shè)（），由題意得到，，，列出等量關(guān)系，化簡整理，即可得出結(jié)果；

（2）由（1）的結(jié)果，得到點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的上半圓在矩形區(qū)域內(nèi)的部分，進(jìn)而可得出結(jié)果；

（3）根據(jù)題意得到，，根據(jù)正弦定理求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.

（1）設(shè)（），由題意可得：，，

又機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍，比賽中兩機(jī)器人均按勻速直線遠(yuǎn)動方式行進(jìn)，

所以，

即，整理得：（）；

（2）由（1）知，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的上半圓在矩形區(qū)域內(nèi)的部分，

所以當(dāng)時，就能確保無論的值為多少，總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使之挑戰(zhàn)成功；

（3）由題意，在中，，，

由正弦定理得：，

所以，因此，

即應(yīng)在矩形區(qū)域內(nèi)，按照與方向夾角為的方向釋放機(jī)器人乙，才能挑戰(zhàn)成功.