【題目】如圖,已知直線和直線
,射線
的一個(gè)法向量為
,點(diǎn)
為坐標(biāo)原點(diǎn),
,
,點(diǎn)
、
分別是直線
、
上的動(dòng)點(diǎn),直線
和
之間的距離為2,
于點(diǎn)
,
于點(diǎn)
;
(1)若,求
的值;
(2)若,求
的最大值;
(3)若,
,求
的最小值.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)先由得到射線
的方程為:
,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出
,
,由勾股定理求出
,
,進(jìn)而可求出結(jié)果;
(2)根據(jù)題意,得到,設(shè)
、
,得到
,
,由
,結(jié)合柯西不等式得到
,進(jìn)而可求出結(jié)果;
(3)先由題意,作出點(diǎn)關(guān)于直線
的對(duì)稱點(diǎn)
,得到
,設(shè)
,
得到,進(jìn)而可求出結(jié)果.
(1)因?yàn)?/span>,所以
,所以射線
的方程為:
;
所以,
,所以
;
又直線,所以
,所以
,
因此;
(2)因?yàn)?/span>,直線
和
之間的距離為2,所以
,即
;
設(shè)、
,因?yàn)?/span>
,
則,
,
所以,
又,所以
,
因?yàn)?/span>,
所以,
故的最大值為
;
(3)因?yàn)?/span>,所以
,
,如圖所示:
作出點(diǎn)關(guān)于直線
的對(duì)稱點(diǎn)
,則
,
設(shè),
所以,
同理,可由對(duì)稱性得:當(dāng)且僅當(dāng)為
時(shí),
取得最小值
,
因此的最小值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司的新能源產(chǎn)品上市后在國內(nèi)外同時(shí)銷售,已知第一批產(chǎn)品上市銷售40天內(nèi)全部售完,該公司對(duì)這批產(chǎn)品上市后的國內(nèi)外市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查,如圖所示,其中圖①中的折線表示的是國外市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系;圖②中的拋物線表示的是國內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系;下表表示的是產(chǎn)品廣告費(fèi)用、產(chǎn)品成本、產(chǎn)品銷售價(jià)格與上市時(shí)間的關(guān)系.
(1)分別寫出國外市場(chǎng)的日銷售量、國內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量
與產(chǎn)品上市時(shí)間
的函數(shù)關(guān)系式;
(2)產(chǎn)品上市后的哪幾天,這家公司的日銷售利潤超過260萬元?
(日銷售利潤=(單件產(chǎn)品銷售價(jià)-單件產(chǎn)品成本)×日銷售量-當(dāng)天廣告費(fèi)用,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在雙曲線
(
,
)上,且雙曲線的一條漸近線的方程是
.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若過點(diǎn)且斜率為
的直線
與雙曲線
有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)設(shè)(2)中直線與雙曲線
交于
兩個(gè)不同的點(diǎn),若以線段
為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知、
為平面上的兩個(gè)定點(diǎn),且
,該平面上的動(dòng)線段
的端點(diǎn)
、
,滿足
,
,
,則動(dòng)線段
所形成圖形的面積為( )
A.36B.60C.72D.108
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽,在
處按
方向釋放機(jī)器人甲,同時(shí)在
處按某方向釋放機(jī)器人乙,設(shè)機(jī)器人乙在
處成功攔截機(jī)器人甲,若點(diǎn)
在矩形區(qū)城
內(nèi)(包含邊界),則挑戰(zhàn)成功,否則挑戰(zhàn)失敗,已知
米,
為
中點(diǎn),機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍,比賽中兩機(jī)器人均按勻速直線遠(yuǎn)動(dòng)方式行進(jìn).
(1)如圖建系,求的軌跡方程;
(2)記與
的夾角為
,
,如何設(shè)計(jì)
的長度,才能確保無論
的值為多少,總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使之挑戰(zhàn)成功?
(3)若與
的夾角為
,
足夠長,則如何設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度,才能挑戰(zhàn)成功?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣axlnx.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線f(x)在x=1處的切線方程;
(2)證明:對(duì)于a∈(0,e),函數(shù)f(x)在區(qū)間()上單調(diào)遞增.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是一個(gè)菱形,三角形PAD是一個(gè)等腰三角形,∠BAD=∠PAD=,點(diǎn)E在線段PC上,且PE=3EC.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求二面角E﹣AB﹣P的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示為一正方體的平面展開圖,在這個(gè)正方體中,有下列四個(gè)命題:
①AF⊥GC;
②BD與GC成異面直線且夾角為60;
③BD∥MN;
④BG與平面ABCD所成的角為45.
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a+b+c=8.
(1)若a=2,b=,求cosC的值;
(2)若sinAcos2+sinB·cos2
=2sinC,且△ABC的面積S=
sinC,求a和b的值.
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