Question

用長為18 m的鋼條圍成一個(gè)長方體容器的框架，如果所制的容器的長與寬之比為2∶1，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積．

Answer 1

容器高為1.5 m時(shí)容器的容積最大，最大容積為3.

解析試題分析：設(shè)長方體的寬為m, 長為2x m，高為 m，由實(shí)際意義得出，長方體體積可寫出容積，對求導(dǎo)，知0<x<1時(shí)，V′(x)>0；當(dāng)時(shí)，V′(x)<0，則在時(shí)有最大值，求之得最大容積．
解：設(shè)長方體的寬為x m，則長為2x m，高為 m,
由  解得   ，       3分
故長方體的容積為    6分
從而    V′(x)＝，
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0 (舍去)，      8分
當(dāng)0<x<1時(shí)，V′(x)>0；
當(dāng)時(shí)，V′(x)<0，
故在x＝1處V(x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V(x)的最大值，
從而最大體積為V(1)＝9×1²－6×1³ ＝ 3 ,      10分
此時(shí)容器的高為4.5－3＝1.5 m,
因此，容器高為1.5 m時(shí)容器的容積最大，最大容積為3 ．    12分
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，函數(shù)的應(yīng)用.