Question

已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，到點(diǎn)的距離為，且．直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、(，都在軸上方)，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時，求直線方程；
（3）對于動直線，是否存在一個定點(diǎn)，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），（2），（3）.

試題分析：（1）本題橢圓方程的求法是軌跡法.這是由于題目沒有明確直線是左準(zhǔn)線，點(diǎn)是左焦點(diǎn).不可利用待定系數(shù)法求解. 設(shè)，則，,化簡得： 橢圓C的方程為：,（2）條件中角的關(guān)系一般化為斜率，利用坐標(biāo)進(jìn)行求解. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051840979837.png" style="vertical-align:middle;" />,所以，由題意得，，可求與橢圓交點(diǎn)，從而可得直線方程（3）直線過定點(diǎn)問題，一般先表示出直線, ,利用等量關(guān)系將兩元消為一元. ，代入得：,.化簡得，直線方程：直線總經(jīng)過定點(diǎn)
解：（1）設(shè)，則，       （2分）

化簡得： 橢圓C的方程為：   （4分）
（2），
，   （3分）
代入得：，，代入得
，   （5分）
，   （6分）
（3）解法一：由于，。   （1分）
設(shè)
設(shè)直線方程：，代入得：
   （3分）



，   （5分）
直線方程：直線總經(jīng)過定點(diǎn)   （6分）
解法二：由于，所以關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在直線上。

設(shè)
設(shè)直線方程：，代入得：


，，令，得：

，


直線總經(jīng)過定點(diǎn)