Question

已知函數(shù)，，且在點(diǎn)（1，）處的切線方程為。

（1）求的解析式；

（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）設(shè)函數(shù)，若方程有且僅有四個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)，則，無解，即無單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)，則，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)，則，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；（3） 

【解析】

試題分析：(1) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處曲線切線的斜率，聯(lián)立方程組求解； (2)求導(dǎo)，利用倒數(shù)分析單調(diào)性，注意一元二次不等式根的情形；（3）通過導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性分析，結(jié)合圖像分析零點(diǎn)的問題

試題解析：（1），由條件，得

，即，                       4分

（2）由，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122009442409207619/SYS201312200945560823877998_DA.files/image017.png">，

，

令，得（*）                                 6分

①若，則，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；         7分   

②若，（*）式等價(jià)于，

當(dāng)，則，無解，即無單調(diào)增區(qū)間，

當(dāng)，則，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，

當(dāng)，則，即的單調(diào)遞增區(qū)間為                   10分

（3）

當(dāng)時(shí)，，，

令，得，且當(dāng)，

在上有極小值，即最小值為                       11分

當(dāng)時(shí)，，，

令，得，

①若，方程不可能有四個(gè)解；                 12分

②若時(shí)，當(dāng)，當(dāng)，

在上有極小值，即最小值為，

又，的圖象如圖1所示，

從圖象可以看出方程不可能有四個(gè)解           14分

③若時(shí)，當(dāng)，當(dāng)，

在上有極大值，即最大值為，

又，的圖象如圖2所示，

從圖象可以看出方程若有四個(gè)解，

必須， 

綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是                       16分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值