Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)（為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，且對任意恒成立，求的最大值；
（3）當(dāng)時(shí)，證明．

Answer 1

（1）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/02/9/m7fsb3.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．……………………1分
因?yàn)楹瘮?shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率為3，
所以，即．
所以．………………………………………………………………2分
（2）解：由（1）知，，
∴對任意恒成立，即對任意恒成立．…………3分
令，
則，…………………………………………4分
令，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．…………………………………5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c4/7/8ofo11.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以方程在上存在唯一實(shí)根，且滿足．
當(dāng)，即，當(dāng)，
即，………………6分
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以
．……………7分
所以．
故整數(shù)的最大值是3．……………………………………………………8分
（3）證明1：由（2）知，是上的增函數(shù)，……………9分
所以當(dāng)時(shí)，．………………………10分
即．
整理，得
．……………………………11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ab/2/1qphf3.gif" style="vertical-align:middle;" />， 所以．…………………12分
即．
即．…………………………………13分
所以
．…………………………………………………14分
證明2：構(gòu)造函數(shù)
，………………………………9分
則．……………………………10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/28/a/1zid54.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．………………………11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ab/2/1qphf3.gif" style="vertical-align:middle;" />， 所以．
所以
．…12分
即．
即．
即．…………………………………………13分
所以．……………………………………………14

解析