Question

【題目】已知橢圓 ，直線不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸， 與有兩

個(gè)交點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M.

（1）若，點(diǎn)K在橢圓上， 、分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的范圍；

（2）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；

（3）若過點(diǎn)，射線OM與交于點(diǎn)P，四邊形能否為平行四邊形？

若能，求此時(shí)的斜率；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析(3) 當(dāng)的斜率為或時(shí)，四邊形為平行四邊形

【解析】試題分析： 將代入，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，給出的表達(dá)式，消元求出范圍

聯(lián)立直線方程和橢圓方程化簡得到，求出， 的值，求出對(duì)應(yīng)的直線斜率即可得到結(jié)論

四邊形為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論

解析：（1）橢圓，兩個(gè)焦點(diǎn)、，設(shè)

所以

由于，所以，

由橢圓性質(zhì)可知，所以

（2）設(shè)直線（），， ， ，

所以為方程的兩根，化簡得，

所以， .

，所以直線的斜率與的斜率的乘積等于為定值.

（3）∵直線過點(diǎn)，∴ 不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是， ．

設(shè) 設(shè)直線（），即.

由（2）的結(jié)論可知，代入橢圓方程得

由（2）的過程得中點(diǎn)，

若四邊形為平行四邊形，那么M也是OP的中點(diǎn)，所以，

得，解得

所以當(dāng)的斜率為或時(shí)，四邊形為平行四邊形．