Question

【題目】設(shè)數(shù)列滿足|an﹣ |≤1，n∈N* ．
（1）求證：|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）
（2）若|an|≤（ ）n ， n∈N* ， 證明：|an|≤2，n∈N* ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵|an﹣ |≤1，∴|an|﹣ |an+1|≤1，

∴ ﹣ ≤ ，n∈N*，

∴ =（ ）+（ ）+…+（ ）≤ + + +…+ = =1﹣ ＜1．

∴|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）

（2）

解：任取n∈N*，由（1）知，對于任意m＞n，

﹣ =（ ）+（ ）+…+（ ）

≤ + +…+ = ＜ ．

∴|an|＜（ + ）2n≤[ + （ ）m]2n=2+（ ）m2n．①

由m的任意性可知|an|≤2．

否則，存在n0∈N*，使得| |＞2，

取正整數(shù)m0＞ 且m0＞n0，則

＜ （ ） =| |﹣2，與①式矛盾．

綜上，對于任意n∈N*，都有|an|≤2

【解析】（1）使用三角不等式得出|an|﹣ |an+1|≤1，變形得 ﹣ ≤ ，使用累加法可求得 ＜1，即結(jié)論成立；（2）利用（1）的結(jié)論得出 ﹣ ＜ ，進(jìn)而得出|an|＜2+（ ）m2n ， 利用m的任意性可證|an|≤2．本題考查了不等式的應(yīng)用與證明，等比數(shù)列的求和公式，放縮法證明不等式，難度較大．