Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若恒成立；求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,極小值為,無極大值；（2）．

【解析】

試題分析：（1）求出導數(shù)及定義域，在定義域內(nèi)解不等式得增區(qū)間，解不等式得減區(qū)間，同時可確定極值；（2）設(shè)，求出導數(shù)，研究的單調(diào)性，不等式恒成立，即的最小值非負，因此由導數(shù)求得的最小值，由于，因此當時，單調(diào)遞增，不合題意（），時，，再由函數(shù)的單調(diào)性可得只有時，，從而確定．

試題解析：（1）注意到函數(shù)的定義域為,

當時,,若,則；若,則.

所以是上的減函數(shù),是上的增函數(shù),故,故函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,極小值為,無極大值.

（2）由（1）知,當時,時,是上的增函數(shù),注意到時,,不合題意.當時,若；若.所以是上的減函數(shù),是上的增函數(shù),故只需.令,當時,

；當時,.所以是上的減函數(shù),是上的增函數(shù).

故當且僅當時等號成立. 即所求.