【題目】設(shè)是函數(shù)
的一個極值點(diǎn).
(1)求與
的關(guān)系式(用
表示
)
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè),若存在
,使得
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1);
(2)① 當(dāng)時,單調(diào)遞增區(qū)間為:
;單調(diào)遞減區(qū)間為:
,
;
② 當(dāng)時,單調(diào)遞增區(qū)間為:
;單調(diào)遞減區(qū)間為:
,
;
(3).
【解析】
試題(1)解決類似的問題時,注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時,要先求函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)使
的點(diǎn),再計算函數(shù)
在區(qū)間內(nèi)所有使
的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,最后比較即得.(2)第二問關(guān)鍵是分離參數(shù),把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.(3)若可導(dǎo)函數(shù)
在指定的區(qū)間
上單調(diào)遞增(減),求參數(shù)問題,可轉(zhuǎn)化為
恒成立,從而構(gòu)建不等式,要注意“=”是否可以取到.
試題解析:(1)∵
∴
由題意得:,即
,
∴且
令得
,
∵是函數(shù)
的一個極值點(diǎn).
∴,即
故
與
的關(guān)系式
(2) ① 當(dāng)時,
,由
得單調(diào)遞增區(qū)間為:
;
由得單調(diào)遞減區(qū)間為:
,
;
② 當(dāng)時,
,由
得單調(diào)遞增區(qū)間為:
;
由得單調(diào)遞減區(qū)間為:
,
;
(3) 由(2)知:當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
,
在
上的值域為
易知在
上是增函數(shù)
在
上的值域為
由于,又因為要存在
,
使得成立,所以必須且只須
, 解得:
所以:的取值范圍為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知有限集,如果
中元素
滿足
,就稱
為“復(fù)活集”.
(1)判斷集合是否為“復(fù)活集”,并說明理由;
(2)若,
,且
是“復(fù)活集”,求
的取值范圍;
(3)若,求證:“復(fù)活集”
有且只有一個,且
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
,(
為參數(shù)),
為曲線
上的動點(diǎn),動點(diǎn)
滿足
(
且
),
點(diǎn)的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程,并說明
是什么曲線;
(2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,
點(diǎn)的極坐標(biāo)為
,射線
與
的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為
,已知
面積的最大值為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個不透明的盒子中關(guān)有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三種昆蟲共11只,現(xiàn)在盒子上開一小孔,每次只能飛出1只昆蟲(假設(shè)任意1只昆蟲等可能地飛出).若有2只昆蟲先后任意飛出(不考慮順序),則飛出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是.
(1)求盒子中蜜蜂有幾只;
(2)若從盒子中先后任意飛出3只昆蟲(不考慮順序),記飛出蜜蜂的只數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量,向量
,設(shè)函數(shù)
的圖象關(guān)于直線
對稱,其中常數(shù)
.
(1)若,求
的值域;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移
個單位,再向下平移1個單位,得到函數(shù)
的圖象,用五點(diǎn)法作出函數(shù)
在區(qū)間
上的圖象.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)
在橢圓上,當(dāng)
時,
內(nèi)切圓的半徑為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線與橢圓
相較于
兩點(diǎn),且
,當(dāng)直線
的斜率之和為2時,問:點(diǎn)
到直線
的距離是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣,在全校一年級學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:
喜歡甜品 | 不喜歡甜品 | 合計 | |
南方學(xué)生 | 60 | 20 | 80 |
北方學(xué)生 | 10 | 10 | 20 |
合計 | 70 | 30 | 100 |
根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有
的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”;
已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生,其中2名喜歡甜品,現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的通項公式為
,數(shù)列
的通項公式為
,設(shè)
,若在數(shù)列
中,
對任意
恒成立,則實(shí)數(shù)
的取值范圍是_________.
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