Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在軸上，離心率，點(diǎn)在橢圓C上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為的直線交橢圓與、兩點(diǎn)，且、、成等差數(shù)列，點(diǎn)M（1,1），求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：(1)設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知條件解出即可；（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程為，A,B點(diǎn)坐標(biāo)為,聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理得，然后利用直線的斜率依次成等差數(shù)列得出，又，所以，即，然后求出弦長(zhǎng)，計(jì)算三角形面積，求其最大值.
試題解析：1)  設(shè)橢圓方程為，由題意知
，…①
，…②
聯(lián)立①②解得，，所以橢圓方程為        (4分)
2) 由題意可知，直線的斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程為
滿足，
消去得．
，
且，．
因?yàn)橹本�的斜率依次成等差數(shù)列，
所以，，即，
又，所以，
即．                                     (9分)
聯(lián)立    易得弦AB的長(zhǎng)為  
又點(diǎn)M到的距離 
所以
平方再化簡(jiǎn)求導(dǎo)易得時(shí)S取最大值        (13分)
考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的離心率、直線方程、等差數(shù)列、點(diǎn)到直線的距離公式.