Question

已知點(diǎn)D是△ABC邊BC上的點(diǎn)，

BD

=2

DC

，過(guò)D分別作直線交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若

AE

=λ

AB

，

AF

=μ

AC

（λ＞0，μ＞0），則λ+2μ的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用,平行向量與共線向量

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由已知可設(shè)

DE

=x

EF

，可得 

AD

=xμ

AC

+(1-x)λ

AB

，以及

AD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

，從而可得λ，μ的關(guān)系，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可求出最小值．

解答： 解：由D、E、F三點(diǎn)共線，可設(shè)

ED

=x

EF

∵

AE

=λ

AB

，

AF

=μ

AC

，（λ＞0，μ＞0），
∴

AD

=

AE

+

ED

=

AE

+x

EF

=

AE

+x（

AF

-

AE

）=x

AF

+（1-x）

AE

=xμ

AC

+(1-x)λ

AB

，
，∵

BD

=2

DC

，∴

AD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

，
∴

xμ= 2 3 (1-x)λ= 1 3

∵λ＞0，μ＞0∴x∈（0，1）．
∴

λ= 1 3(1-x) μ= 2 x

∴λ+2μ=

1

3

(

12

x

+

1

1-x

)．令t=

1

3

(

12

x

+

1

1-x

)，
∴t′=

1

3

(-

12

x2

+

1

(1-x)2

)，令t′=0，解得：x=

12-2 3

11

，
∴當(dāng)x=

12-2 3

11

時(shí)，λ+2μ取得最小值：

1

3

(

12

12-2 3 11

+

1

1- 12-2 3 11

)=5+

8 3

3

．
故答案為：5+

8 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在求解函數(shù)的最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知向量的知識(shí)尋求表達(dá)式的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．