【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）若不等式
對任意
恒成立，求實數
的取值范圍..
【答案】（1）當
時，在區(qū)間
上單調遞增，在區(qū)間
上單調遞減；當
時，在區(qū)間
上單調遞增；（2）
【解析】
（1）函數求導
對參數
進行討論得到函數單調性
（2）對
進行符號討論，研究單調性解決恒成立問題；也可分離參數
不等式恒成立問題轉化為函數最值問題，構造函數
，利用導數求
最值可解.
（1）由題意，函數
的定義域為.
則
.
（i）當
，那時，
令
，得
，得
，得
，得
.
又因為
，所以
；令
，得
；
所以函數
在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；
（ii）當
，即時，
，
又由，得
，所以.即對任意
恒成立，所以函數在區(qū)間上單調遞增；
綜上，當時，函數在區(qū)間
上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；
當時，函數在區(qū)間上單調遞增.
（2）方法一，由（1）可知，
①當時，函數在區(qū)間上單調遞增，所以函數在區(qū)間
上單調遞增.
所以函數在區(qū)間上的最小值為
，
最大值為
；
②當時，函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；
（i）當
，即
時，函數在區(qū)間上單調遞減，所以函數在區(qū)間上的最小值為
，最大值
；
（ii）當
，即
時，函數在區(qū)間
上單調遞增，在區(qū)間
上單調遞減；所以函數在區(qū)間上最大值為
；
而最小值需要比較與的大小；
因為
，
所以當
，即
，也即
時，
，此時函數在區(qū)間上的最小值為；
當
，即
時，
，
此時函數在區(qū)間上的最小值為；
當
，即
時，，此時函數在區(qū)間上的最小值為
；
（iii）當
，即
時，函數在區(qū)間上單調遞增，所以函數在區(qū)間上的最小值為，最大值為；
若不等式
對任意
恒成立，則
且
.
綜上所述，當
時，函數的區(qū)間上的最小值為，
最大值為；此時，
且
，解得；
當
時，函數在區(qū)間上的最小值為，
此時
，不符合題意，舍去；
當時，函數在區(qū)間上的最小值為，
最大值為
；此時，
且
，
解得
.但此時
，與前提條件不符合，故無解，舍去；
當時，函數在區(qū)間上的最小值為，此時最小值
，而，不符合題意，舍去.
綜上所述，實數的取值范圍是
.
方法二 已知
.
由
，∴，
令
，則
，
顯然當時，
，
在上單調遞增，
∴
.
由
，∴
，
令
，則
.
令
，顯然
在上單調遞減.
∵
，
，∴在上必存在一點
，使得
，
∴當
時，
，即
，∴
在
上單調遞增，
當
時，
，即
，∴在
上單調遞減.
∴在上的最小值只可能在端點處的取得.
∵
，
，∴
.∴
.
綜上所述.
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【題目】數
（其中
）的圖象如圖所示，為了得到
的圖象，則只要將
的圖象上所有的點（ ）
A.向左平移
個單位長度，縱坐標縮短到原來的
，橫坐標不變
B.向左平移
個單位長度，縱坐標伸長到原來的3倍橫坐標不變
C.向右平移個單位長度，縱坐標縮短到原來的，橫坐標不變
D.向右平移個單位長度，縱坐標伸長到原來的3倍，橫坐標不變
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱
中，側面
為菱形，
在側面上的投影恰為
的中點
，
為
的中點．
（Ⅰ）證明：
∥平面
；
（Ⅱ）若
，
在線段
上是否存在點
（不與
，
重合）使得直線
與平面成角的正弦值為
若存在，求出
的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點O，其右焦點為F（1，0），以坐標原點O為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y
0的相切.
（1）求橢圓C的方程；
（2）經過點F的直線l1，l2分別交橢圓C于A、B及C、D四點，且l1⊥l2，探究：是否存在常數λ，使
恒成立.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有曲池，上中周二丈，外周四丈，廣一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，廣五尺，深一丈，問積幾何？”其意思為：“今有上下底面皆為扇形的水池，上底中周2丈，外周4丈，寬1丈；下底中周1丈4尺，外周長2丈4尺，寬5尺；深1丈．問它的容積是多少？”則該曲池的容積為（ ）立方尺（1丈＝10尺，曲池：上下底面皆為扇形的土池，其容積公式為
[（2×上寬+下寬）
（2×下寬+上寬）
]×深）
A.
B.1890C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正方體
的棱長為
，其內有2個不同的小球，球
與三棱錐
的四個面都相切，球
與三棱錐的三個面和球都相切，則球的體積等于______，球的表面積等于______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費對年銷售量（單位：
）的影響.該公司對近5年的年宣傳費和年銷售量數據進行了研究，發(fā)現年宣傳費
（萬元）和年銷售量
（單位：）具有線性相關關系，并對數據作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值.
| 2 | 4 | 5 | 3 | 6 |
| 2.5 | 4 | 4.5 | 3 | 6 |
（1）根據表中數據建立年銷售量關于年宣傳費的回歸方程；
（2）已知這種產品的年利潤
與，的關系為
，根據（1）中的結果回答下列問題：
①當年宣傳費為10萬元時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
②估算該公司應該投入多少宣傳費，才能使得年利潤與年宣傳費的比值最大.
附：問歸方程
中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
，
.
參考數據：
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱
中，
底面
，點
是棱
的中點.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）若
，
，在棱
上是否存在點
，使二面角
的大小為
，若存在，求出
的值；若不存在，說明理由.
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