Question

已知三個非零向量a=pe₁-qe₂,b=re₂-pe₃,c=qe₃-re₁,且p、q、r不全為零,求證：a、b、c共面.

Answer 1

證明:(1)若e₁、e₂、e₃共面，設(shè)該平面為α，

∵a=pe₁-qe₂,∴a、e₁、e₂共面a∥α.

同理,?b∥α,?c∥α,∴a、b、c共面.

(2)若e₁、e₂、e₃不共面，則ra+ qb+ pc=r(pe₁-qe₂)+q(re₂-pe₃)+p(qe₃-re₁)=(pr-pr)e₁+(qr-qr)e₂

+(pq- pq)e₃=0.

∵p、q、r不全為零，不妨設(shè)r≠0,

則a=-b-c,∴a、b、c共面.

綜上可知，a、b、c共面.

溫馨提示：證明三向量共面的理論是共面向量定理，簡記為其中一個向量可用其余兩個向量線性表示出來.如(2)a=-b-c,難點是發(fā)現(xiàn)ra+qb+pc=0.